Ce sunt fractalii?

Teoria fractalilor face parte din asa-numita teorie a complexitatii, de care apartin si teoria haosului, teoria structurilor disipative, teoria catastrofelor etc.

Dar ce este un fractal? Este un corp cu o forma neregulata, ce poate fi fragmentat, fragmentele sale asemanandu-se cu intregul. Denumirea de fractal apartine matematicianului de origine franceza Benoit Mandelbrot (nascut in 1924), inventatorul celebrului „mar matematic”, care-i poarta numele, construit cu ajutorul computerului.

In natura, sunt considerati fractali muntii presarati cu stanci colturoase, corola unui arbore sau radacinile acestuia raspandite in sol in toate directiile, norii al caror contur se modifica permanent, reteaua hidrografica, valurile marii, reteaua de vase sanguine, un fulg de zapada; chiar si Universul sau parti ale sale, avand o structura neregulata, pot fi considerate fractali. Caracteristicile fractalilor vin in contrast cu ordinea din geometria euclidiana si cu perfectiunea cristalelor din lumea fizica.

In matematica, fractalul este un obiect a carui geometrie (dimensiuni) este data de fractii. In categoria fractalilor matematici intra curba lui Peano, multimea Cantor, sita lui Sierpinski, „fulgul de zapada” al lui Koch etc.
Fractalii din natura nu par a respecta niste reguli anume. Spre deosebire de acestia, fractalii matematici se construiesc dupa anumite reguli. Se pleaca de la un obiect cunoscut (de exemplu, un segment de dreapta, un cerc, un contur poligonal regulat etc), considerat ca fiind „initiatorul” -si care, prin deformare, rupere etc, se transforma in altceva, dupa o lege de constructie oarecare (numita „generator”), operatia repetandu-se de un numar infinit de ori.

Figura din stanga explica modul in care se construieste fractalul numit curba lui Van Koch. Initiatorul este segmentul de dreapta AB. Prima etapa a generarii acestei curbe se face prin divizarea segmentului de dreapta AB in trei segmente egale, urmata de inlocuirea segmentului din mijloc cu laturile unui triunghi echilateral, a carui baza este eliminata. Se repeta operatia (a doua etapa): fiecare segment se imparte din nou in trei parti egale, si din nou, mijlocul fiecaruia se inlocuieste cu laturile unui triunghi echilateral caruia ii lipseste baza. Se repeta aceeasi operatie de n ori. Curba lui Van Koch corespunde trecerii la limita, cand n -> oo. Aceasta curba are niste proprietati remarcabile: este de lungime infinita, continua, dar nederivabila!

Fractalii si-au gasit aplicatii neasteptate in realizarea unor antene folosite in telecomunicatii (de exemplu: avand forma fractalului Van Koch triunghiular; sau patrat – de tip Minkowski), avand performante exceptionale: un factor de calitate ridicat, pe frecvente care nu sunt corelate armonic, si obtinerea unor frecvente de rezonanta cu valori mai mici decat cele corespunzatoare dimensiunilor geometrice. Aceasta permite miniaturizarea antenei pentru o anumita frecventa. Deja, asemenea antene miniaturizate sunt utilizate in echiparea actualelor telefoane celulare. De asemenea, fractalii si-au gasit utilizarea in grafica realizata cu ajutorul calculatorului, in crearea unor peisaje artificiale etc.